笛卡尔简单的发现，引发了一场可贵的数学革命，致使拓扑学诞生

32。每个角包含4个六边形，所以V = 16。因此F - E + V =0。

关键性问题出有在哪里？

左方：F-E + V =0的相框。左方边示意图：对相框同步进行平滑一般化后的最终常为构 。

F - E + V也就是说性是不亦会关键性问题的。精简现实生活也不亦会关键性问题。但如果你对前提同步进行妥善处理，好像在一条恰好消去一个大面，或者在一条恰好消去一个六边形，那么最终的精简顺式就不是单个六边形在单个大面上了。如上示意图的左方边示意图：F =1, V =1, E =2。在这个期里，清空一条边只是将剩的唯一一个大面与它本身并入，所以对至少字的更加改便外加。这就是我们碰到的状况，但我们还是给与认识到答：对于这个顺式，F - E + V = 0。因此，该步骤分派得很完美。它只是对相框造成了了各不相同的常为果。相框和正方体之间一定有一些基本上的区别，不参至少F - E + V将其体现了出有来。

前大面，我告知过你把晶体“碎裂成一个圆球”。但这对相框来说是不或许的。即使经过精简，它的形似也不像一个圆盘。它是一个内侧大面，有点像一个刹车，里间有个大洞。然而，F-E + V即使如此是也就是说的。这个推论告知我们，任何可碎裂为内侧大面的晶体都尽量避免以致于各不相同的关系式：F - E +V = 0。因此，我们有了严苛推论内侧大面不亦会碎裂为圆盘的框架，不一定，这两个凹凸不平在仿射常为构上是各不相同的。

当然这在事物上是显而易见的，但从前我们可以用演算来反对事物。恰巧如椭圆学从点和中央线的显着政治性出有发，并将它们基本化为严苛的椭圆理论模型一样，19世纪和20世纪的自然现象科学家蓬勃发展出有了严苛基本的仿射理论模型。

左方：2盖内侧大面。左方边：3盖内侧大面。

像内侧大面这样的虚拟，有两个或更加多的盖，如示意图上示意图所示。常为果确实，任何可碎裂为2盖内侧大面的晶体尽量避免F - E + V = - 2，任何可碎裂为3盖内侧大面的晶体尽量避免F - E + V = - 4，通常，任何可碎裂为g盖内侧大面的晶体尽量避免F - E + V = 2- 2g。

沿着形而上学和拉格朗日的简而言之，我们见到了晶体的总至少政治性（大面、六边形和边的总至少）和有着盖的政治性之间的紧密联系。我们援引F - E + V为正方体的拉格朗日欧拉至少。

我们测算盖的总至少，这是一种定量加载，但“盖”本身是定性的，因为它根本不是晶体的特点。事物上，它是生活空间里的一个周边而晶体不是。事实上，你越少开始思维盖（大洞）是什么，你就越少亦会似乎假设一个大洞是更加棘手的，比如下示意图：

这是我最爱的一个范例，它被专指“盖里之盖”，毕竟你可以把一个大洞跨越另一个大洞。

情况下逆得越少来越少繁杂。到了19十五世纪，它们在自然现象科学里普遍存有——在概率论、微分椭圆和魏尔斯特拉斯微分基本椭圆里。更加难受的是，在纯自然现象科学和运用于自然现象科学的所有各个领域里，高维的晶体N-占据了里心发言权。太阳系的动力学必须每一个观察者有6个线性。它们有更加高线性的盖N-。无论如何，有必要给这个新的各个领域造就一点法纪。解答是：不参至少。

仿射不参至少的思想要可以追溯到魏尔斯特拉斯关于磁性的研究指导工作。他对磁力中央线和Ethernet如何互为通到热衷于，他假设了通到至少，即一个磁力中央线绕另一个磁力中央线的次至少。这是一个仿射不参至少：如果弧中央线整年碎裂，它保持也就是说。魏尔斯特拉斯的师生约翰·李斯特和魏尔斯特拉斯的他的学生奥托·拉格朗日苏斯的首次熟悉认识到了魏尔斯特拉斯的研究指导工作。李斯特在1847年的“仿射研究指导工作”里引入了“仿射”这个用语，而拉格朗日苏斯则恰当了整年碎裂的功用。

李斯特想要寻求拉格朗日式子的示范。加载符 F- E + V是一个人组也就是说式。盖的总至少g是一个仿射不参至少：无论晶体如何碎裂，只要碎裂是整年的，它都不亦会彻底改逆。仿射不参至少捕捉形似的定性假设特点；人组函至少包括了一种测算步骤。这两者常为合痛快是更加有力的，因为我们可以用假设不参至少来考虑到形似，用人组不参至少来已确定我们要讨论的内容。

事实上，这个式子让我们显然逃避了假设“大洞”这个棘手的关键性问题。相反，我们将“大洞至少”假设为一个包，既不假设大洞也不测算有多少个大洞。具体怎么做？就是把拉格朗日式子F - E + V = 2-2g删去成这种基本：

从前我们可以通过在立体上“画大面”来测算g，测算F，E和V，然后把这些差值代入式子。因为加载符是一个不参至少，所以不管我们如何分割虚拟，好像给与相异的解答。但我们所做的一切都不依赖于大洞的假设。相反，“大洞至少”演逆成了一种事物的解释。

这对至少学研究的一个两大关键性问题有重大事件的突破：什么时候一个形似可以整年碎裂成另一个形似？不一定，就至少学研究家而言，这两个形似是否相异？如果它们是一样的，它们的不参至少也一定是一样的；反之，如果不参至少各不相同，形似也亦会各不相同。由于球大面有着拉格朗日欧拉至少2，而内侧大面有着拉格朗日欧拉至少0，因此无法将球大面整年碎裂为内侧大面。

不太显着的是，拉格朗日欧拉至少确实这个费解“盖里之盖”实质上只是一个诱饵的三盖内侧大面。大多至少凹凸不平的繁杂性极为是来自于凹凸不平的固有仿射常为构，而是来自于我选择将其比如说生活空间的方式将。

至少学研究里第一个真恰巧关键性性的定理造成了于拉格朗日欧拉至少式子。它是曲大面的一个完整形态学，曲大面的二维形似，像球大面或内侧大面。此外，还不对了一些高效率前提条件：凹凸不平不应不亦会分界，而且仅限于不应是局限的（假设是“灵活”）。

为了这个借此，凹凸不平被单纯地描述了；不一定，它极为存有于外面的生活空间里。一种步骤是把这个凹凸不平看成是许多恰巧方形周边，它们按照特定的规章沿着边缘疙瘩在两兄弟。

把平面的边疙瘩在两兄弟做成内侧大面

疙瘩合分界的或许性避免了一个更加奇怪的现象：只有一大面的凹凸不平。最著名的范例是拉格朗日苏斯的带上，这是一个长方形带上，其两端以180°的翻转疙瘩在两兄弟。拉格朗日苏斯带上只有一条边，因为长方形的两条单独的边通过半扭的方式将连在两兄弟。

我们可以很不易做出有一个拉格朗日苏斯带上，因为它可以很自然现象地比如说三维生活空间。这个带上只有一大面，不一定，如果你开始画它的一个凹凸不平，然后在此之后画无论如何，你最终亦会延展整个凹凸不平，前大面和后大面。

这是因为半无法挽回通到了前大面和后大面。这不是一个固有的描述，因为它依赖于把带上比如说生活空间，还有一个等价的，更加专业的适应性，叫做可定向性，这是固有的。

如果我们把一个长方形的两条边疙瘩在两兄弟，就像一个拉格朗日苏斯带上，然后把另外两条边疙瘩在两兄弟，不用须任何扭曲。这个凹凸不平被描绘成这样一个交叉，它有点就像一个酒杯子的鼻子钉过内壁，并通到到底部。它是由菲舍尔新发明的，被专指菲舍尔酒杯。

菲舍尔酒杯不亦会分界且灵活，因此任何凹凸不平形态学都必须包括它。它是所有单大面曲大面家族里最出有名的。

在自然现象科学的许多各个领域里，曲大面是自然现象用到的。它们在概率论里很关键性性，在概率论里，曲大面与无限大有关，在这些无限大上函至少展示出有诱发——例如，导至少不存有。奇异性是概率论里许多关键性问题的关键性。由于奇异性与曲大面有关，曲大面的仿射常为构为至少学研究研究包括了一种关键性性的高效率。

大多至少早期仿射都是高度事物的，很多仿射都牵涉到在四维或赫尔生活空间里。我们可以在更加有意思的内侧境里对趣味有一种感觉：扭常为。在现实全球性里，常为是用一根铁链打常为而成的。至少学研究家们必须一种步骤来防止绳常为脱离绳常为的末端，因此他们将绳常为的末端通到在两兄弟，演化成一个内层的内侧。一个常为就是嵌在生活空间里的一个圆。从单纯上讲，常为与圆的仿射常为构是相异的，但在这种情况下下，关键性性的是圆在外面生活空间里的后方。这毕竟与至少学研究的意识相背离，但常为的单纯在于双簧管内侧和围绕它的生活空间之间的彼此间。通过不仅仅考虑到内侧路，而且考虑到它与生活空间的彼此间，至少学研究可以应付关于常为点的关键性性关键性问题。其里包括：

我们怎么明白一个常为真是打了？

我们如何划分仿射上各不相同的常为？换句话说，两个纽常为能否从一个较厚山势逆到另一 个，而不用切割纽常为自身，这即使如此被显然是一个繁杂的自然现象科学关键性问题。纽常为不参至少是努力解 答这个关键性问题的无疑运用于软件，我们接下来亦会简介。

我们能对所有或许的常为同步进行形态学吗？

苏格兰理论模型彗星物理学 Peter Tait 用多年星期研究指导工作出有雏形的纽常为形态学同上。1910年巴德 思·德恩导入了纽常为集合的假设。1928 年罗伯特·凯尔·亚历山大导入了纽常为整至少这个更加不易妥善处理的不参至少。这些都是纽常为理论模型蓬勃发展 之路上关键性性的突飞猛进。

将近在1960年以后，常为论进入了至少学研究的失去平衡，等待着创造性的大洞见。1984年，新西兰自然现象科学家沃恩·米勒新发明了新的纽常为不参至少，专指米勒整至少，也使用纽常为示意图和三种方向移动一般来说来假设。然而，这些方向移动极为保留常为的仿射一般来说。然而，令人惊讶的是，这个期望即使如此是可行的，而且米勒整至少是一个常为不参至少。

米勒的见到为他赢得了加德纳兹奖。它也引发了新的常为不参至少的结束。1985年，2组各不相同的自然现象科学家（8个人身份），同时见到了米勒整至少的相异示范，并各自向同一份周报提交了科学论文。这四种推论都是各不相同的，主编说服这八名译者倡议痛快刊载一篇倡议文章。它们的不参至少通常被专指HOMFLY整至少（基于姓氏的首字母）。但即使是米勒整至少和HOMFLY整至少也不亦会显然回答常为理论模型的三个关键性问题。对所有或许的常为同步进行该系统的形态学即使如此是自然现象科学家的大叔。

仿射有很多功用，但它们通常是间接的。例如，我们对实体化的解读是创建在带上电粒子该系统的仿射适应性的框架上的。

更加艰深的至少学研究运用于用到在框架彗星物理学的前沿。在这里，仿射的主要“购买者”是量子场理论模型学家，因为弗里德曼理论模型，即量子力学和经典力学的并存理论模型，是基于仿射的。在这里，类似的米勒整至少在常为理论模型用到在福勒示意图的背景下，它看出了量子粒子，如带上电粒子和恰巧电子如何通过未来世界方向移动，碰撞，并入和分裂。福勒示意图有点像常为示意图。

对我来说，至少学研究最吸引人的运用于之一是它在海洋微生物学上越少来越少多的运用于，努力我们解读肉体原子DNA的指导工作方式将。是因为DNA是双臂常为构，就像两个互为盘绕的臂栏杆。这两条碱基错综繁杂地呼应在两兄弟，关键性性的海洋生物现实生活，某种程度是细胞分裂时复制DNA的方式将，必须尽量避免这种繁杂的仿射常为构。

有些核糖体，专指合并核糖体，切断两条DNA碱基，然后以各不相同的方式将重新通到。为了已确定这种核糖体在细胞里的功用，动物学家将这种核糖体运用于到DNA的内层内侧上。然后，他们用带上电粒子显微镜观察修改后的内侧的形似。如果核糖体将各不相同的碱基通到在两兄弟，示意图形就是一个常为：

如果核糖体使这些碱基单独，示意图形看出出有两个相连的内侧。纽常为理论模型的步骤，如米勒整至少和另一种被专指“缠常为”的理论模型，使研究指导工作常为和通到牵涉到成为或许，这包括了关于核糖体功用的详细信息。

总的来说，你不亦会在日常生活里遇到仿射。但在策画，至少学研究相接了整个另类自然现象科学，使其他有着更加显着实际功用的高效率终于蓬勃发展。这就是为什么自然现象科学家们显然至少学研究更加关键性性，而自然现象科学以外的人却完全不亦会听说过它。

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